martedì 20 agosto 2013

Rappresentazione insiemistica e operazioni parte 3: Sottoinsiemi, Insieme delle Parti, Insieme Intersezione, Insieme Unione, Insieme complementare, Insieme differenza, Partizione di un insieme

Sottoinsiemi


Considerati due insiemi A e B si dice che B è un sottoinsieme di A quando ogni elemento di B appartiene anche a A

 







In simboli si scriverà:

(1)       
Che si legge << B è contenuto in A o è uguale a A >>o anche <<B è incluso in A o è uguale a A>>; si può anche scrivere:
(2)        
che si legge << A contiene B o è uguale a B>> o << A include B o è uguale a B>>
 
Nella (1) si suol dire che che tra B e A vige una relazione di inclusione. Il simbolo indica che eventualmente B potrebbe essere uguale a A ovvero che tra B e A vige una relazione di inclusione in senso largo.
Per individuare un sottoinsieme B dell'insieme A viene spesso precisata una proprietà caratteristica degli elementi di B;solo gli elementi A che soddisfano tale caratteristica formano il sottoinsieme B.

 
Per esempio,Prendiamo A l'insieme degli studenti di una certa classe e la proprietà del sottoinsieme sia quella di essere “più alto 1, 80 cm”.Se nessuno degli studenti è più alto più di 1,80 cm,avremmo come sottoinsieme B l'insieme vuoto, (sottoinsieme improprio o banale);se invece tutti gli studenti della classe hanno altezza superiore a 1,80 cm il sottoinsieme B ovviamente è determinato è tutto A (e di nuovo avremmo un sottoinsieme improprio o banale);negli altri rimanenti casi ovvero né nessuno né tutti ma alcuni,avremmo per gli studenti più alti di 1,80 cm costruiremo un insieme B,che quindi non sarà né vuoto né uguale a A,che è un sottoinsieme proprio di A,e scriveremo in tal caso:


 
Che si legge B <<è strettamente contenuto o incluso in A>> ovvero avremmo quella che viene definita un'inclusione in senso stretto. Pertanto diremo che B è un sottoinsieme proprio di A quando non è vuoto ed esistono elementi di A che non appartengono a B.
Da quanto detto quindi ogni insieme può ammettere come sottoinsieme impropri se stesso e l'insieme vuoto.

 Esempi:

1)Se A={a,b,c} e B={b,c} avremmo ovviamente che 

 

 

2) Dato l'insieme

   
il sottoinsieme dei numeri dispari di A è B={1;3;5}

 


3)Prendiamo un insieme A formato da un solo elemento A={a} e cioè formato da un solo elemento (insieme unitari).Tale insieme non ha sottoinsiemi propri

4)L'insieme A={a;b} (insieme coppia) ha come sottoinsiemi propri {a} e {b}

5)Il piano,considerato come un insieme di punti,ha tra i suoi sottoinsiemi propri,le rette del piano stesso.

 
Insieme delle Parti.

Dato un insieme A definiamo l'insieme delle parti di A quell'insieme,indicato con P(A) che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi di A (compresi quelli impropri),

Se A={a,b,c} avremmo che

 

Notiamo subito che A possiede 3 elementi mentre P(A) ne possiede 23=8
 Possiamo dire in generale che se A contiene n elementi,P(A) ha 2n elementi.
Osserviamo infine che se

                       

Insieme intersezione

Dati due insiemi A e B,si chiama loro intersezione l'insieme degli elementi appartenenti contemporaneamente sia ad A sia a B,e si scrive :

                                                                               
E si legge <<A intersecato B>> o <<A intersezione B>>
                                       
                                                                  
 
E si può anche scrivere in notazione simbolica come:

                                         

Quando è


allora i due insiemi non hanno elementi in comune,gli insiemi A e B si dicono disgiunti

 







In modo analogo si definirà l'intersezione di tre o più insiemi.

Esempi

1)se A={a;b;c;d} e B={c;d;e} avremmo che    

 








2)Se r ed s sono due rette distinte e parallele,allora la loro intersezione è l'insieme vuoto (r e s non hanno punti comuni) quindi:
  


Insieme Unione

Si dice unione di A e B l'insieme degli elementi appartenenti a A o a B,cioè la particella “o” (disgiunzione inclusiva in logica proposizionale) indica precisamente: ad almeno uno dei due insiemi dati e possiamo leggerlo <<A unito B>> o <<A unione B>>.

La rappresentazione medianti dei diagrammi Eulero Venn 

                                                                 

   

Simbolicamente abbiamo quindi:

                                                

 
In modo analogo si definisce l'unione di uno o più insiemi.

Esempi

1)Sia A={a;b;c} e B={c;d} allora risulta

  
2)Sia P l'insieme dei numeri naturali pari (compreso ovviamente lo 0) che compongono e D quello dei numeri dispari. L'unione dei numeri naturali peri e dei naturali dispari sarà ovviamente N.

    
Mentre risulterà in questo caso:
 

 
Insieme complementare

Si definisce complementare un insieme A,rispetto a un'insieme ambiente o universo U,l'insieme degli elementi U che non appartengono a A

                                                     

Il complementare di un insieme A si indica con A o anche per mettere in evidenza l'insieme universo,con CuA;in simboli:

 
 
Notiamo che in base alla definizione è:

  
 
Esempi

1)Se prendiamo per esempio l'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano l'insieme complementare dell'insieme delle vocali sarà l'insieme delle consonanti.

2)Se per esempio prendiamo l'insieme N dei numeri naturali si consideri
          
Insieme differenza

Definiamo differenza di due insiemi A e B considerati nell'ordine l'insieme che indicheremo con A-B,costituito dagli elementi A che non appartengono a B,in simboli:
                
                                                      

Nei diagrammi di Eulero venn indichiamo con la parte colorata A-B
      
   
Poiché gli elementi che non stanno in B non sono gli elementi di di B (complementare di B rispetto all'insieme ambiente) possiamo anche definire

                                                    

e pertanto,in base alla definizione di intersezione  

                                                             

 
Esempio

Dati gli insiemi A={a;b;c;d} e B={c;d;e} determinare A-B e B-A
Risulta: A-B={a;b} e B-A={e}

  
Partizione di un insieme

Come applicazione del concetto di unione e intersezione vediamo ora la partizione di un insieme. Consideriamo un insieme A e un certo numero n di suoi sottoinsiemi propri A1,A2,A3....An (i sottoinsiemi vengono indicati con Ai dove i=1,2...n).Si dice che questi sottoinsiemi formano una partizione di A se i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti e se la loro unione dà tutto A,cioè,in simboli,se:

1)    
2) 

Graficamente una partizione A in 5 sottoinsiemi A1 ,A2 ,A3 , A4 ,A5 può essere rappresentata così:

                                                        

Esempi

1)Se A={a,b,c,d,e,f} una delle possibili partizioni di A è data da

A1={a,b,c}
A2={d,e}
A3={f}

infatti i sottoinsiemi sono propri (non sono vuoti e non coincidono con A) e sono a due a due disgiunti
e la loro unione è A (infatti:)


2)Una partizione dell'insieme N dei numeri naturali è fornita dai suoi sottoinsiemi P e D rispettivamente dai numeri pari e dispari;è infatti facile constatare che P e D sono sottoinsiemi propri di N e che: